لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 34 صفحه
قسمتی از متن word (..doc) :
مقدمه:
در این مقاله، مدلی جهت تعیین مکان و اندازه DG را در یک سیستم توزیع معرفی می گردد که حل با استفاده از بهینه سازی اجتماع مورچگان - ant Colony Optimization
(ACO) به عنوان یک ابزار بهینه سازی صورت می گیرد. در این الگوریتم DGها به عنوان منابع توان ثابت(نظیر پیلهای سوختی) در نظر گرفته می شوند. بنابراین، اپراتور سیستم توزیع فقط می تواند منابع DG را روشن و خاموش کند و نمی تواند توان خروجی آنها را کم و زیاد کند.
II. فرمولبندی مساله:
در تابع هدف پیشنهادی برای یافتن اندازه و مکان مناسب منابع DG، موارد زیر در نظر گرفته می شود:
- هزینه سرمایه گذاری منابع DG.
- هزینه نگهداری و تعمیر و هزینه عملیاتی منابع DG.
- هزینه تلفات.
- هزینه خرید انرژی در شبکه انتقال.
تابع هدف به شکل معادله زیر فرمول بندی می شود:
(1)
(2)
(3)
که:
Z: مقدار تابع هدف ($)
ncd: شمار مکانهای کاندید برای نصب DG در شبکه.
nld: شمار سطح بار در سال
nss: شمار پستهای HV/MV در سیستم
nyr: دوره برنامه ریزی(سال)
CDGi: ظرفیت انتخاب شده DG برای نصب در گره i(MVA)
KIDG: هزینه سرمایه گذاری منابع DG($/MVA)
Pssl,j: توان ارسالی از پست j به باد را شامل تلفات شبکه(MV)
Cj,l: توان تولیدی توسط مبلغ DG نصب شده در گره j در سطح بار را(MV)
PW: ضریب ارزش فعلی
IntR: نرخ بهره
InrR: نرخ تورم
تابع هدف(1) ضمن رعایت محدودیتهای زیر حداقل می گردد:
- ظرفیت بخشهای فیدر:
توان انتقالی با هر بخش فیدر باید مساوی یا کمتر از ظرفیت حرارتی رساناهای آن باشد.
(4)
که حدهای پخش بار و حرارتی خط بخش i هستند.
- حد دامنه ولتاژ:
الگوریتم پخش بار وفقی اصلاح شده برای ارزیابی رفتار سیستم استفاده شده است. اول ولتاژ گره ها محاسبه می شود. معادله زیر محدودیت متناظر را توصیف می کند:
(5)
که Vi,l دامنه ولتاژ محاسبه شده i امین گره در سطح بار l است.
Vmax , Vmin، مینیمم و ماکزیمم ولتاژ عملیاتی مجاز است.
- حد کل ظرفیت DG:
این محدودیت، کل ظرفیت واحدهای DG نصب شده در سیستم توزیع را محدود می کند.
که CDGi ظرفیت DG انتخاب شده در iامین محل کاندید است. CDGi کل ظرفیت مجاز منابع DG است که در سیستم نصب می شود.
III. بهینه سازی اجتماع مورچه گان(ACO):
A. وجه عمومی الگوریتم ACO از رفتار مورچه ها به دست آمده است، همانطور که شکل 1 نشان می دهد. پروسه الگوریتم ACO زمانبندی سه عمل را مدیریت می کند.
گام اول ارزش دهی فرومن دنباله دار را شامل می شود. در تکرار(دومین بار) گام، هر مورچه یک حل کامل مساله را مطابق یک قانون حالت گذاری احتمالاتی می سازد. قانون حالت گذرا، اساسا به حالت فرومن وابستگی دارد. سومین گام، به روز کردن مقادیر فرومن است. به روز کردن فرومن در دو فاز اعمال می شود. اول فاز تبخیر است که کسری از فرومن تبخیر می شود(خشک می شود، بر باد می رود)، و سپس فاز تقویت شمار فرومن ها را روی مسیر با تعداد راه حل های بالا افزایش می دهد. این پروسه تکرار می شود تا به ملاک توقف برسد.
راه های مختلفی برای تفسیر اصول بالا به پروسه کامپیوتری جهت حل مساله بهینه سازی پیشنهاد می شود. روش بهینه سازی پیشنهادی برای این مقاله براساس الگوریتم ACO پیشنهاد شده در[18] است.
B. اعمال ACO با مساله جایابی DG
مراحل اصلی الگوریتم ACO پیشنهادی به شرح زیر است:
گام اول) نمایش گراف فضای جستجو
قبل از هر چیز، ما به دنبال تدبیری هستیم که ساختاری را نشان دهد که مناسب برای مورچه ها باید تا برای حل مساله جستجو کنند. فضای جستجوی مساله در شکل 2 آمده است.
همه مقادیر ظرفیت کاندید محتمل در مکان n با طبقانی در فضای جستجو تا طبقه n با طبقاتی در فضای جستجو تا طبقه n معرفی می گردند. شمار طبقات برای هر سطح بار مساوی شمار گره های کاندید سیستم توزیع برای مکان DG است. بنابراین، شمار کل طبقات(nldxncd) است. یک حل مساله بعد از فرآیند تصمیم گیری مورچه برای شکل گیری زیر مسیرهای یک نوبت تکمیل می گردد.
گام 2) ارزش دهی ACO
در آغاز الگوریتم ACO، مقادیر فرومن کناره ها در فضای تحقیق، همه به یک مقدار ثابت() ارزش دهی می شوند. این مقدار دهی باعث می شود که مورچه گان مسیر خودشان را به صورت اتفاقی انتخاب کنند و بنابراین، فضای حل به طور موثرتری جستجو می شود.
گام 3) پخش شدن مورچه گان
در این مرحله، مورچه ها پخش می شوند و راه حل ها براساس سطح فرومن لبه ها شکل می گیرد. هر مورچه تور خود را از خانه شروع می کند و یکی از حالتها را در طبقه بعدی انتخاب می کند تا احتمال جهش زیر: (7)
که کل فرومن های امانی روی کناره ij در تکرار t، و مجموعه لبه های در دسترس که مورچه در حالت i می تواند انتخاب کند می باشد.
بعد از اینکه هر مورچه تور خود را به انتها برد، یک راه حل جدید برای مکان DG تولید می شود که با استفاده از تابع برازندگی ارزیابی می گردد.
گام 4) تابع برازندگی
در این گام، برازندگی تورهای تولید شده توسط مورچه ها براساس تابع برازندگی ارزیابی می شود. تابع برازندگی مساله با معکوس کردن هزینه کل(1) به علاوه یک ضریب جریمه برای حل های نشدنی(تخلف از محدودیت ها) تعیین می شود.
در عین حال، برای تسریع همگرایی خواص الگوریتم، از اطلاعاتی در تور برگشت خورده اما هنوز مفید است استفاده می شود. ضریب جریمه از صفر تا مقدار خیلی بالایی به صورت خطی افزایش می یابد.
گام 5) بهنگام سازی فرومن
هدف از بهنگام کردن مقادیر فرومن، افزایش مقادیر فرومن روی مولفه های حل است که در حل است که در حل های برازندگی بالا یافت می شود. همچنین، از نقطه نظر عملی، تبخیر فرومن به اجتناب از همگرایی خیلی سریع الگوریتم به سوی یک ناحیه جدید در فضای تحقیق استفاده می کند. از قاعده زیر استفاده می کنیم:
که (0
Q یک متغیر ذهنی است که شمار فرومن اضافه شده به بهترین تور را کنترل می کند.
باند پایین تر فرومن است که در یک احتمال کوچک برای یک مورچه یک کناره معین انتخاب می شود. هنوز احتمال بزرگتر از صفر است. این باند پایین یک تابعی از شمارشگر تکرار به صورت زیر است:
(9)
که باند پایین اولیه فرومن است.
گام 6) تصمیم همگرایی
گامهای 3 تا 5 به ماکزیمم مقدار از پیش تعیین شده برسد که از راه آزمایش تعیین
می گردد. بهترین تور انتخاب شده در طول همه تکرارها حل بهینه مکان DG را
می رساند.
شکل 3، فلوچارت روش پیشنهادی براساس ACO را نشان می دهد.
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 11 صفحه
قسمتی از متن word (..doc) :
1-4-2 برد نمونه
ساده ترین روش اندازه گیری واریانس نمونه تفریق کوچکترین مقدار نمونه از بزرگترین مقدار آن نمونه می باشد. این مقدار که با حرفشان داده می شود، بود نمونه نامیده می شوند. R مورد استفاده در جدول 4-2 را برای کمک به تصریح پهنای رده احتمالی برای توزیع فراوانی به یاد آورید.
این برد در روند کنترل کیفی از جمله نمونه های کوچک بسیار مفید است، با اینحال از جائیکه تنها دو مشاهده برای تعیین مقدار آن مورد استفاده قرار گرفته است، این برد نسبت به موارد خارج از برد بسیار حساس می باشد.
به دو مجموعه داده ارائه شده در جدول 5-2 توجه کنید. بدیهی است که نمونه B نسبت به نمونه A دارای تغییر کمتر بوده است اگر چه هر دو مجموعه دارای میانگین 30، دامنه 40 بوده و هیچ کدام از مجموعه ها دارای مد نمی باشند. دلیل این امر یک بودن مقیاس های 29، 31 به 30 در نمونه B می باشد در حالیکه 20 و 40(در نمونه A) بسیار دورتر از میانگین قرار دارد. این مثال ساده ملزوم برخی از اندازه گیریها را مشخص می کند.
2-4-2- برد میان چارکی
برد چارک های اول و سوم امکان اندازه گیری تغییرات نزدیک مرکز توزیع را فراهم می کنند. این اندازه گیری با IQR نشان داده می شود. برد میان چارکی نامیده می شود. برخلاف برد نمونه برد میان چارکی تحت تاثیر مقادیر مقدم نمونه قرار نمی گیرد.
مثال 21-2
از جائیکه 5/1(6)(25/0) و 5/4=(6)(75/0) و پس((1)x(9)x)(5/0)+(1)x=1q و((4)x(5)x) (4)x=3 9
برای نمونه ای با اندازه 5=n می بایست با استفاده از نمونه های جدول 5-2، چارک اول و سوم برای نمونه به ترتیب برابر با 15 = (10)(5/0) + 10 و 45=(10)(5/0) + 40 می باشند در مورد نمونه B، چارک اول بود.
5/19 =(19)(5/0) +10 و چارک سوم برابر با 5/40=(19)(5/0)+31 می باشد. بنابراین، برد میان چارک برای A و B به ترتیب برابر با 30=15-45= IQRA و 21=5/19-5/40=IQRB می باشد. از جائیکه 0>IQRB و IQ می باشد پس نیمه میانی نمونه A بیشتر از نیمه میانی نمونه B دچار تغییر می شود.
3-4-2- انحراف معیار نمونه
روش طبیعی برای اندازه گیری تغییرات انتخاب یک مقدار مرجع و سپس محاسبه انحراف داده ها از این مقدار مرجع می باشد. مقدار مرجعی که در اغلب موارد مورد استفاده قرار می گیرد. میانگین نمونه می باشد. با این حال در صورتی که این نابراربی کلیه
xiها در نمونه محاسبه کرده و نتایج را جمع کنیم؛ همواره مقدار صفر بدست می آید. بنابراین میانگین انحراف از این میانکین همواره برابر با صفر خواهد بود. در این حالت به چه کاری می توانیم انجام دهیم.
مجموع مربعات
یک روش برای اجتناب از این مساله، بدست آوردن مقادیر غیر منفی یا مجذور کردن هر کدام از انحرافات می باشد. مجموع این انحرافات مربع،«مجموع مربعات» نامیده شده و از رابطه زیر بدست می آید:
(5-2)
توجه داشته باشید که اگر تنها و تنها اگر مشاهدات n برابر باشند، SSX برابر با صفر خواهد بود، همچنین، چه تغییرات در یک نمونه بیشتر باشد، مجموع مربعات عدد بزرگتری خواهد بود.
مثال 22-2
به نمونه A در جدول 5-2 توجه کنید. میانگین این نمونه برابر با 30 می باشد، با استفاده از معادله(205) جمع مربعات این نمونه(که با
SSA نشان داده می شود) برابر با
1000=2(30-50)+2(30-40)+2(30-30)+2(30-20)+2(30-10)=SSA خواهد بود.
در صورتیکه نمونه ای از k مقدار متفاوت xk و ... و x1 تشکیل شده باشد که به ترتیب با فراوانی f1 ,…,fk اتفاق می افتد جمع مربعات نمونه برابر با(6-2) خواهد بود.
زمانی که داده ها در رده های k گروه بندی شده و مقادیر نمی کنند در دسترس نمی باشند، برآوردی از مجموع ای نمونه را می توان با استفاده از این نتیجه با نقطع میانی فاصله فراهم که جایگزین xi شده و میانگین موزون نقاط که جایگزین تو شده اند، بدست آورد، برای نشان دادن این مورد که نقاط بر این نیز مورد استفاده قرار می گیرد، مجموع مربع حاصل به صورت SSM نشان داده خواهد شد.
مثال 23-2
بار دیگر تحقیق کروشه صفحه دارد را در نظر بگیرید. برای فراوانی توزیع که در جدول 3-2 نشان داده شده است میانی رده عبارتند از:
30/1=1m و 35/1=2m و 45/1=4m و 50/1=5m و 55/1= 4m و 60/1=7m و 65/1=8m و 70/1=9m و 75/1=10m، فراوانی های متناسب این رده عبارتند از 1 و 5 و 6 و 13 و 9 و 17 و 13 و 7 و 1 و 3 میانگین
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 34 صفحه
قسمتی از متن word (..doc) :
مقدمه:
در این مقاله، مدلی جهت تعیین مکان و اندازه DG را در یک سیستم توزیع معرفی می گردد که حل با استفاده از بهینه سازی اجتماع مورچگان - ant Colony Optimization
(ACO) به عنوان یک ابزار بهینه سازی صورت می گیرد. در این الگوریتم DGها به عنوان منابع توان ثابت(نظیر پیلهای سوختی) در نظر گرفته می شوند. بنابراین، اپراتور سیستم توزیع فقط می تواند منابع DG را روشن و خاموش کند و نمی تواند توان خروجی آنها را کم و زیاد کند.
II. فرمولبندی مساله:
در تابع هدف پیشنهادی برای یافتن اندازه و مکان مناسب منابع DG، موارد زیر در نظر گرفته می شود:
- هزینه سرمایه گذاری منابع DG.
- هزینه نگهداری و تعمیر و هزینه عملیاتی منابع DG.
- هزینه تلفات.
- هزینه خرید انرژی در شبکه انتقال.
تابع هدف به شکل معادله زیر فرمول بندی می شود:
(1)
(2)
(3)
که:
Z: مقدار تابع هدف ($)
ncd: شمار مکانهای کاندید برای نصب DG در شبکه.
nld: شمار سطح بار در سال
nss: شمار پستهای HV/MV در سیستم
nyr: دوره برنامه ریزی(سال)
CDGi: ظرفیت انتخاب شده DG برای نصب در گره i(MVA)
KIDG: هزینه سرمایه گذاری منابع DG($/MVA)
Pssl,j: توان ارسالی از پست j به باد را شامل تلفات شبکه(MV)
Cj,l: توان تولیدی توسط مبلغ DG نصب شده در گره j در سطح بار را(MV)
PW: ضریب ارزش فعلی
IntR: نرخ بهره
InrR: نرخ تورم
تابع هدف(1) ضمن رعایت محدودیتهای زیر حداقل می گردد:
- ظرفیت بخشهای فیدر:
توان انتقالی با هر بخش فیدر باید مساوی یا کمتر از ظرفیت حرارتی رساناهای آن باشد.
(4)
که حدهای پخش بار و حرارتی خط بخش i هستند.
- حد دامنه ولتاژ:
الگوریتم پخش بار وفقی اصلاح شده برای ارزیابی رفتار سیستم استفاده شده است. اول ولتاژ گره ها محاسبه می شود. معادله زیر محدودیت متناظر را توصیف می کند:
(5)
که Vi,l دامنه ولتاژ محاسبه شده i امین گره در سطح بار l است.
Vmax , Vmin، مینیمم و ماکزیمم ولتاژ عملیاتی مجاز است.
- حد کل ظرفیت DG:
این محدودیت، کل ظرفیت واحدهای DG نصب شده در سیستم توزیع را محدود می کند.
که CDGi ظرفیت DG انتخاب شده در iامین محل کاندید است. CDGi کل ظرفیت مجاز منابع DG است که در سیستم نصب می شود.
III. بهینه سازی اجتماع مورچه گان(ACO):
A. وجه عمومی الگوریتم ACO از رفتار مورچه ها به دست آمده است، همانطور که شکل 1 نشان می دهد. پروسه الگوریتم ACO زمانبندی سه عمل را مدیریت می کند.
گام اول ارزش دهی فرومن دنباله دار را شامل می شود. در تکرار(دومین بار) گام، هر مورچه یک حل کامل مساله را مطابق یک قانون حالت گذاری احتمالاتی می سازد. قانون حالت گذرا، اساسا به حالت فرومن وابستگی دارد. سومین گام، به روز کردن مقادیر فرومن است. به روز کردن فرومن در دو فاز اعمال می شود. اول فاز تبخیر است که کسری از فرومن تبخیر می شود(خشک می شود، بر باد می رود)، و سپس فاز تقویت شمار فرومن ها را روی مسیر با تعداد راه حل های بالا افزایش می دهد. این پروسه تکرار می شود تا به ملاک توقف برسد.
راه های مختلفی برای تفسیر اصول بالا به پروسه کامپیوتری جهت حل مساله بهینه سازی پیشنهاد می شود. روش بهینه سازی پیشنهادی برای این مقاله براساس الگوریتم ACO پیشنهاد شده در[18] است.
B. اعمال ACO با مساله جایابی DG
مراحل اصلی الگوریتم ACO پیشنهادی به شرح زیر است:
گام اول) نمایش گراف فضای جستجو
قبل از هر چیز، ما به دنبال تدبیری هستیم که ساختاری را نشان دهد که مناسب برای مورچه ها باید تا برای حل مساله جستجو کنند. فضای جستجوی مساله در شکل 2 آمده است.
همه مقادیر ظرفیت کاندید محتمل در مکان n با طبقانی در فضای جستجو تا طبقه n با طبقاتی در فضای جستجو تا طبقه n معرفی می گردند. شمار طبقات برای هر سطح بار مساوی شمار گره های کاندید سیستم توزیع برای مکان DG است. بنابراین، شمار کل طبقات(nldxncd) است. یک حل مساله بعد از فرآیند تصمیم گیری مورچه برای شکل گیری زیر مسیرهای یک نوبت تکمیل می گردد.
گام 2) ارزش دهی ACO
در آغاز الگوریتم ACO، مقادیر فرومن کناره ها در فضای تحقیق، همه به یک مقدار ثابت() ارزش دهی می شوند. این مقدار دهی باعث می شود که مورچه گان مسیر خودشان را به صورت اتفاقی انتخاب کنند و بنابراین، فضای حل به طور موثرتری جستجو می شود.
گام 3) پخش شدن مورچه گان
در این مرحله، مورچه ها پخش می شوند و راه حل ها براساس سطح فرومن لبه ها شکل می گیرد. هر مورچه تور خود را از خانه شروع می کند و یکی از حالتها را در طبقه بعدی انتخاب می کند تا احتمال جهش زیر: (7)
که کل فرومن های امانی روی کناره ij در تکرار t، و مجموعه لبه های در دسترس که مورچه در حالت i می تواند انتخاب کند می باشد.
بعد از اینکه هر مورچه تور خود را به انتها برد، یک راه حل جدید برای مکان DG تولید می شود که با استفاده از تابع برازندگی ارزیابی می گردد.
گام 4) تابع برازندگی
در این گام، برازندگی تورهای تولید شده توسط مورچه ها براساس تابع برازندگی ارزیابی می شود. تابع برازندگی مساله با معکوس کردن هزینه کل(1) به علاوه یک ضریب جریمه برای حل های نشدنی(تخلف از محدودیت ها) تعیین می شود.
در عین حال، برای تسریع همگرایی خواص الگوریتم، از اطلاعاتی در تور برگشت خورده اما هنوز مفید است استفاده می شود. ضریب جریمه از صفر تا مقدار خیلی بالایی به صورت خطی افزایش می یابد.
گام 5) بهنگام سازی فرومن
هدف از بهنگام کردن مقادیر فرومن، افزایش مقادیر فرومن روی مولفه های حل است که در حل است که در حل های برازندگی بالا یافت می شود. همچنین، از نقطه نظر عملی، تبخیر فرومن به اجتناب از همگرایی خیلی سریع الگوریتم به سوی یک ناحیه جدید در فضای تحقیق استفاده می کند. از قاعده زیر استفاده می کنیم:
که (0
Q یک متغیر ذهنی است که شمار فرومن اضافه شده به بهترین تور را کنترل می کند.
باند پایین تر فرومن است که در یک احتمال کوچک برای یک مورچه یک کناره معین انتخاب می شود. هنوز احتمال بزرگتر از صفر است. این باند پایین یک تابعی از شمارشگر تکرار به صورت زیر است:
(9)
که باند پایین اولیه فرومن است.
گام 6) تصمیم همگرایی
گامهای 3 تا 5 به ماکزیمم مقدار از پیش تعیین شده برسد که از راه آزمایش تعیین
می گردد. بهترین تور انتخاب شده در طول همه تکرارها حل بهینه مکان DG را
می رساند.
شکل 3، فلوچارت روش پیشنهادی براساس ACO را نشان می دهد.
لینک دانلود و خرید پایین توضیحات
دسته بندی : وورد
نوع فایل : word (..doc) ( قابل ویرایش و آماده پرینت )
تعداد صفحه : 11 صفحه
قسمتی از متن word (..doc) :
1-4-2 برد نمونه
ساده ترین روش اندازه گیری واریانس نمونه تفریق کوچکترین مقدار نمونه از بزرگترین مقدار آن نمونه می باشد. این مقدار که با حرفشان داده می شود، بود نمونه نامیده می شوند. R مورد استفاده در جدول 4-2 را برای کمک به تصریح پهنای رده احتمالی برای توزیع فراوانی به یاد آورید.
این برد در روند کنترل کیفی از جمله نمونه های کوچک بسیار مفید است، با اینحال از جائیکه تنها دو مشاهده برای تعیین مقدار آن مورد استفاده قرار گرفته است، این برد نسبت به موارد خارج از برد بسیار حساس می باشد.
به دو مجموعه داده ارائه شده در جدول 5-2 توجه کنید. بدیهی است که نمونه B نسبت به نمونه A دارای تغییر کمتر بوده است اگر چه هر دو مجموعه دارای میانگین 30، دامنه 40 بوده و هیچ کدام از مجموعه ها دارای مد نمی باشند. دلیل این امر یک بودن مقیاس های 29، 31 به 30 در نمونه B می باشد در حالیکه 20 و 40(در نمونه A) بسیار دورتر از میانگین قرار دارد. این مثال ساده ملزوم برخی از اندازه گیریها را مشخص می کند.
2-4-2- برد میان چارکی
برد چارک های اول و سوم امکان اندازه گیری تغییرات نزدیک مرکز توزیع را فراهم می کنند. این اندازه گیری با IQR نشان داده می شود. برد میان چارکی نامیده می شود. برخلاف برد نمونه برد میان چارکی تحت تاثیر مقادیر مقدم نمونه قرار نمی گیرد.
مثال 21-2
از جائیکه 5/1(6)(25/0) و 5/4=(6)(75/0) و پس((1)x(9)x)(5/0)+(1)x=1q و((4)x(5)x) (4)x=3 9
برای نمونه ای با اندازه 5=n می بایست با استفاده از نمونه های جدول 5-2، چارک اول و سوم برای نمونه به ترتیب برابر با 15 = (10)(5/0) + 10 و 45=(10)(5/0) + 40 می باشند در مورد نمونه B، چارک اول بود.
5/19 =(19)(5/0) +10 و چارک سوم برابر با 5/40=(19)(5/0)+31 می باشد. بنابراین، برد میان چارک برای A و B به ترتیب برابر با 30=15-45= IQRA و 21=5/19-5/40=IQRB می باشد. از جائیکه 0>IQRB و IQ می باشد پس نیمه میانی نمونه A بیشتر از نیمه میانی نمونه B دچار تغییر می شود.
3-4-2- انحراف معیار نمونه
روش طبیعی برای اندازه گیری تغییرات انتخاب یک مقدار مرجع و سپس محاسبه انحراف داده ها از این مقدار مرجع می باشد. مقدار مرجعی که در اغلب موارد مورد استفاده قرار می گیرد. میانگین نمونه می باشد. با این حال در صورتی که این نابراربی کلیه
xiها در نمونه محاسبه کرده و نتایج را جمع کنیم؛ همواره مقدار صفر بدست می آید. بنابراین میانگین انحراف از این میانکین همواره برابر با صفر خواهد بود. در این حالت به چه کاری می توانیم انجام دهیم.
مجموع مربعات
یک روش برای اجتناب از این مساله، بدست آوردن مقادیر غیر منفی یا مجذور کردن هر کدام از انحرافات می باشد. مجموع این انحرافات مربع،«مجموع مربعات» نامیده شده و از رابطه زیر بدست می آید:
(5-2)
توجه داشته باشید که اگر تنها و تنها اگر مشاهدات n برابر باشند، SSX برابر با صفر خواهد بود، همچنین، چه تغییرات در یک نمونه بیشتر باشد، مجموع مربعات عدد بزرگتری خواهد بود.
مثال 22-2
به نمونه A در جدول 5-2 توجه کنید. میانگین این نمونه برابر با 30 می باشد، با استفاده از معادله(205) جمع مربعات این نمونه(که با
SSA نشان داده می شود) برابر با
1000=2(30-50)+2(30-40)+2(30-30)+2(30-20)+2(30-10)=SSA خواهد بود.
در صورتیکه نمونه ای از k مقدار متفاوت xk و ... و x1 تشکیل شده باشد که به ترتیب با فراوانی f1 ,…,fk اتفاق می افتد جمع مربعات نمونه برابر با(6-2) خواهد بود.
زمانی که داده ها در رده های k گروه بندی شده و مقادیر نمی کنند در دسترس نمی باشند، برآوردی از مجموع ای نمونه را می توان با استفاده از این نتیجه با نقطع میانی فاصله فراهم که جایگزین xi شده و میانگین موزون نقاط که جایگزین تو شده اند، بدست آورد، برای نشان دادن این مورد که نقاط بر این نیز مورد استفاده قرار می گیرد، مجموع مربع حاصل به صورت SSM نشان داده خواهد شد.
مثال 23-2
بار دیگر تحقیق کروشه صفحه دارد را در نظر بگیرید. برای فراوانی توزیع که در جدول 3-2 نشان داده شده است میانی رده عبارتند از:
30/1=1m و 35/1=2m و 45/1=4m و 50/1=5m و 55/1= 4m و 60/1=7m و 65/1=8m و 70/1=9m و 75/1=10m، فراوانی های متناسب این رده عبارتند از 1 و 5 و 6 و 13 و 9 و 17 و 13 و 7 و 1 و 3 میانگین